MATEMATIKA ( MATRIKS )

Matriks (matematika)

Untuk kegunaan lain dari matriks, lihat matriks.

Lihat pula: Aljabar linear

"Teori matriks" beralih ke halaman ini. Untuk topik fisika, lihat Teori matriks string.

Baris m adalah horizontal dan kolom nvertikal. Setiap elemen matriks sering dilambangkan menggunakan variabel dengan dua notasi indeks. Misalnya, a_2,1mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks A.

Dalam matematika, matriks adalah susunan^[1]bilangan, simbol, atau ekspresi, yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi.^[2][3] Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini adalah 2 × 3 (baca "dua per tiga"), karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.}$

Butir individual dalam m × n matriks A, sering dilambangkan dengan a _i, j, dimana nilai maksimum i = m dan nilai maksimum j = n, disebut elemen, entri atau anggota matriks.^[4]Asalkan memiliki ukuran yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), dua matriks dapat ditambahkan atau dikurangkan elemen demi elemen (lihat matriks yang dapat dibentuk). Untuk aturan perkalian matriks, dua matriks dapat dikalikan hanya jika jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua (dengan kata lain, dimensi dalamnya sama, n untuk A_m,n × B_n,p).

Pemanfaatan matriks misalnya dalam menemukan solusi sistem persamaan linear. Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linear, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3 dimensi.

Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur.

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}\!}$

NotasiSunting

Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal:

${\textstyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}.}$

Operasi dasarSunting

Penjumlahan dan pengurangan matriksSunting

Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama.

${\displaystyle a_{ij}\pm b_{ij}=c_{ij}\!}$

atau dalam representasi dekoratifnya

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{3}&{4}\\{6}&{5}\\\end{bmatrix}}\!}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(a_{11}\pm b_{11})&(a_{12}\pm b_{12})&(a_{13}\pm b_{13})\\(a_{21}\pm b_{21})&(a_{22}\pm b_{22})&(a_{23}\pm b_{23})\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\\end{bmatrix}}\!}$

Perkalian skalarSunting

Matriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar.

${\displaystyle \lambda \cdot A:=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}}$

Contoh perhitungan :

${\displaystyle 5\cdot {\begin{pmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{pmatrix}}}$

Perkalian matriksSunting

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Perkalian matriks

Matriks dapat dikalikan, dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama.

${\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}}$

Contoh perhitungan :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}}$

Referensi